CS229作业生存指北 0

（Bug Defender）#

专有名词翻译#

%% 供使用中文线性代数教材的学生使用 %%
diagonal 对角的
diagonalizable 可对角化的
PSD - positive semi-definite 半正定
symmetric 对称的
null-space 其实就是kernel 即”核“
characteristic polynomial 特征多项式
spectral theorem 谱定理
orthogonal 正交的
eigenvector 特征向量
eigenvalue 特征值

Q.1(d)题目中只给了g is continuously differentiable，为什么可以说它有二阶导数？#

连续可导不一定能推二阶导数存在。

经典反例：

$$f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} x^{3} \sin \left(\frac{1}{x}\right) & x \neq 0 \\ 0 & x=0 \end{array} \right.$$

其二阶导数在0处不存在

$$\begin{aligned} f''(0) &= \lim_{h \to 0} \frac{3h^2 \sin(1/h) - h \cos(1/h)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \left[3h \sin\left(\frac{1}{h}\right) - \cos\left(\frac{1}{h}\right)\right] \end{aligned}$$

观察可得$3h \sin(\frac{1}{h})$ 为常数，而 $\cos(\frac{1}{h})$ 振荡。

题目中可以直接写答案原因是此处的$a^{T}x$是关于x线性的，满足$Lipschit$条件，即存在一个正的常数 L，使得对于定义域中的任意两个不同点 x 和 y，都满足：
$|f'(x) - f'(y)| \le L|x - y|$

这本质上是Rademacher定理在一维情况下的一个直接应用。

Lipschitz连续与二阶导数的存在性#

假设函数 f(x) 的一阶导数 f'(x) 满足 Lipschitz 条件，即存在一个正常数 L，使得对于定义域中的任意两个不同点 x 和 y，都满足：

$|f'(x) - f'(y)| \le L|x - y|$

在这种情况下，我们可以得到一个重要的结论：

f''(x) 几乎处处存在。这本质上是Rademacher定理在一维情况下的一个直接应用。

核心论证 (依赖于一个分析学事实)#

现在到了问题的关键：

我们如何从“所有割线斜率有界”推导出“割线斜率的极限几乎处处存在”？

这里我们需要借助一个关于实函数性质的深刻事实。

直观地讲，这个事实是：

对于任何一个函数（比如这里的 g(x)），其图像上那些“不可微分”的点，主要分为两种：

1. “坏”点：函数图像在此处无限剧烈震荡，导致割线斜率在极限过程中没有界。
2. “稍好”的点：割线斜率有界，但无法收敛到唯一的值（例如，从左边逼近的斜率极限和从右边逼近的斜率极限不一样）。

我们的Lipschitz条件已经完全排除了第一种“坏”点。函数 g(x) 任何一点的割线斜率都被 L 限制住了。

而现代数学分析的理论告诉我们，第二种“稍好”的点（即割线斜率有界但极限不存在的点）虽然可能存在，但它们整体上是“稀疏”的。这些点的总长度（在“勒贝格测度”的意义下）为零。

换句话说，一个函数的斜率如果被有限地控制住了，那么它就无法在一段有实际长度的区间上处处都“拐来拐去”以至于没有导数。这些没有导数的“拐点”只能孤立地、稀疏地存在，形成一个测度为零的集合。

这个问题的数学证明对我而言属实有点太复杂了，需要将导函数分解成两个非递减函数之差，然后再应用勒贝格微分定理（如果Gemini给出的是较优解的话）
希望评论区能有简单明了的做法。