凯利公式详解：最大化复利

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引言#

在量化交易中，如果只考虑一次交易，似乎我们应当最大化期望收益，比如选YES的期望收益是1200，选NO的期望收益是1100，就应当选YES（不考虑选YES中选对与选错的概率分布）。

但是如果考虑多次交易，单次亏损所带来的波动，会导致长期收益率大幅下滑。
如果你不信，可以看看下面的案例：

波动导致的复利损失案例#

假设你有本金 $1000$ 元，现在有两个抛硬币的投资组合供你选择（正面赢，反面输，概率各 50%）：

• 策略 A（高期望，高波动）：赢了赚 80%，输了亏 60%。
• 策略 B（低期望，低波动）：赢了赚 20%，输了亏 10%。

场景一：如果只交易一次

• 策略 A 的单次期望收益率：$0.5 \times 80\% + 0.5 \times (-60\%) = +10\%$
• 策略 B 的单次期望收益率：$0.5 \times 20\% + 0.5 \times (-10\%) = +5\%$
• 直觉结论：如果只玩一把，当然闭着眼睛选 A，它的数学期望是 B 的两倍。

场景二：如果你要做长期交易
在长期交易中，根据大数定律，输赢的次数会趋于均等。我们假设最标准的周期——经历一赢一输：

• 执行两次策略 A 的本金：$1000 \times (1 + 80\%) \times (1 - 60\%) = 1000 \times 1.8 \times 0.4 = 720$ 元。（你亏了 28%）
• 执行两次策略 B 后的本金：$1000 \times (1 + 20\%) \times (1 - 10\%) = 1000 \times 1.2 \times 0.9 = 1080$ 元。（你赚了 8%）

如果把时间拉长，策略A的本金会归0，策略B的本金有可能不断上升。

所以我们其实要同时控制波动和期望，才能最大化长期收益。

经典凯利公式#

如何根据波动和期望选择合适的仓位？

我们有凯利公式，其目的就是在控制破产风险的前提下，最大化资金的长期复合增长率。其提供那个数学最大值点，公式如下：

$f^* = \frac{bp - q}{b}$

• $f^*$ = 应该投入总资金的比例
• $b$ = 净赔率
• $p$ = 你实际的获胜概率
• $q$ = 你实际的失败概率

下面提供凯利公式的推导：（注意看中间使用了大数定律，这阐明了凯利公式的局限性）

经典凯利公式推导#

假设你现在的初始总资金是 $W_0$， 你面临一个投资机会，成功概率为 $p$（该概率由数学建模得到），失败概率为 $q = 1 - p$，净赔率为 $b$ （即如果下注 1 元，赢了能拿回本金 1 元，外加 $b$ 元的净利润），下注仓位比例为 $f$（$0 \le f \le 1$）。

如果下注并赢了，资金会变成：
$W_{win} = W_0 + W_0 \cdot f \cdot b = W_0(1 + bf)$

如果下注并输了，资金会变成：
$W_{lose} = W_0 - W_0 \cdot f = W_0(1 - f)$

考虑长期交易的复合增长，假设你进行了$N$ 次独立的交易。在这 $N$ 次交易中，赢的次数为 $W$，输的次数为 $L$，满足 $W + L = N$。

你的最终资金 $W_N$ 会是：
$W_N = W_0 (1 + bf)^W (1 - f)^L$

我们要最大化复合增长率，设复合增长率为 $e^G$。
则有：
$W_N = W_0 e^{GN}$
代入$e^{GN} = (1 + bf)^W (1 - f)^L$，两边取 $\ln$ 后化简得：
$G = \frac{W}{N} \ln(1 + bf) + \frac{L}{N} \ln(1 - f)$
根据大数定律，当N足够大，$\frac{W}{N} \to p$，$\frac{L}{N} \to q$。

%%这里要注意，在“平均斯坦” ↗中才有大数定律，所以一定要分清适用场景是平均斯坦还是极端斯坦%%

得到期望增长率函数：
$G(f) = p \ln(1 + bf) + q \ln(1 - f)$
求一阶导后令 $G'(f) = 0$，可求驻点：
$\Rightarrow G'(f) = p \cdot \frac{b}{1 + bf} + q \cdot \frac{-1}{1 - f} = 0$
解得：
$\Rightarrow f = \frac{pb - q}{b}$
(可以再求二阶导证其是严格凹的，这个点是极大值点）

多结果凯利公式#

此外，如果一个投资标的有多个互斥区间，我们可以在各个区间分别投注来控制方差。（Dutching，分仓对冲）

这时传统的单次凯利公式不再适用，你需要使用
多结果凯利公式（Simultaneous Kelly Criterion for Mutually Exclusive Events）:
$f_i = p_i - x_i \left( \frac{1 - \sum_{k \in S} p_k}{1 - \sum_{k \in S} x_k} \right)$

• $f_i$：分配给区间 $i$ 的最优资金比例。
• $p_i$：你的模型预测区间 $i$ 发生的真实概率。
• $x_i$：市场针对区间 $i$ 的定价（即隐含概率，也就是 Polymarket 上 “Yes” 的价格）。
• $S$：你决定要实际下注的区间集合（这个集合需要通过特定算法筛选，而不是把所有区间都扔进去）。
• $\sum_{k \in S} p_k$：你要下注的所有区间的预测概率之和。
• $\sum_{k \in S} x_k$：你要下注的所有区间的市场价格之和。

凯利公式修正#

但是这还没完，凯利公式假设你的 $p$ 是绝对准确的，而我们往往做不到完美预测，所以不能单纯用全凯利(Fully Kelly)，而要用分数凯利(Fractional Kelly)、贝叶斯凯利(Bayesian Kelly)等方法对计算出的 $f$ 进行修正。

以半凯利为例，就是简单的把凯利公式算出来的仓位减半，以求更好地控制波动。

其余的修正较为复杂，此处挖个坑，下次有机会继续详解。